Продолжается подписка на наши издания! Вы не забыли подписаться?

Диссертация
Об одном специальном случае сложения натуральных чисел :)

Автор: Филимоненков Д.О
Екатеринбург, 2006, на правах рукописи
Опубликовано: 06.12.2002
Версия текста: 1.0

1. Введение
2. Постановка задачи и ее актуальность
3. Доказательство основной теоремы
4. Следствия и практические приложения

Данная работа посвящена рассмотрению одного специального случая сложения двух натуральных чисел. Обосновывается применимость к данному случаю некоторых алгоритмов сложения, рассматриваются также ряд следствий. Результаты работы опробованы на практике.

Содержание:

  1. Введение
  2. Постановка задачи и ее актуальность
  3. Доказательство основной теоремы
  4. Следствия и практические приложения

1. Введение

Сложение натуральных чисел – широко используемая в современной математике операция. В частности, она применяется в таких областях, как математический и функциональных анализ [1,2], алгебраическая топология [3], теория вероятностей [4], а также в разработке современных языков и средств программирования для ЭВМ, см., например, [5,6]. Однако приходится признать, что в современной математической литературе рассмотрены далеко не все случаи сложения натуральных чисел. Данная работа посвящена устранению этого недостатка в одном конкретном случае.

В работе применяется стандартная запись натуральных чисел с помощью позиционной системы счисления с основанием 10 (см, напр. [7]). Для обозначения операции сложения везде используется знак "+" (плюс), для обозначения операции умножения используется знак "*" (звездочка). Для обозначения взаимной простоты натуральных чисел никакой специальный знак (в отличие от [8]) не используется.

2. Постановка задачи и ее актуальность

Целью работы является находжения результата применения операции сложения к натуральным числам 123456789012345678901234567890123 и 8. Основной результат работы состоит в доказательстве утверждения, что

123456789012345678901234567890123 + 8 = 123456789012345678901234567890131

Результаты вычисления суммы этих натуральных чисел в литературе не встречаются, однако необходимость получения точного значения такой суммы может возникнуть в различных областях народного хозяйства и науки, что обосновывает актуальность полученных результатов. Следует особо отметить, что данная вычислительная задача трудноразрешима современными вычислительными методами, так как калькулятор в операционной системе Windows [9] работает только с натуральными числами, имеющими до 32 разрядов в десятичной записи.

3. Доказательство основной теоремы

Доказательство основного результата идейно восходит к алгоритму так называемого "сложения в столбик". Применение этого алгоритма в более ранних экспериментах [10] дало устойчивый положительный результат. Автор считает своим долгом выразить искреннюю признательность разработчикам этого полезного алгоритма.

Для доказательства представим требуемую нам сумму 123456789012345678901234567890123 + 8 в виде 8 + 123456789012345678901234567890123, что является эквивалентной заменой в силу коммутативности сложения в кольце целых чисел, см [11]. Теперь представим второе слагаемое в виде

1234567890123456789012345678901*100 + 2 * 10 + 3

Тогда, в силу уже отмечавшейся коммутативности сложения, а также его ассоциативности получаем

8 + 123456789012345678901234567890123 = 
8 + 1234567890123456789012345678901 * 100 + 2 * 10 + 3 = 
1234567890123456789012345678901*100 + 2*10 + (3 + 8) 

В силу того, что 3 + 8 = 11 (см [12]) имеем

8 + 123456789012345678901234567890123= 
  1234567890123456789012345678901 *100 + 2 * 10 + 11, 

а тогда, применяя дистрибутивность сложения относительно умножения, получаем

8 + 123456789012345678901234567890123 = 1234567890123456789012345678901*100 + 
  2 * 10 + 1 * 10 + 1 = 1234567890123456789012345678901*100 + (2+1) * 10 + 1.

Так как 2 + 1 = 3, в чем можно убедиться на пальцах, окончательно получаем:

8 + 123456789012345678901234567890123 = 1234567890123456789012345678901 * 100 + 
  3 * 10 + 1 = 123456789012345678901234567890131, 

что и требовалось доказать.

4. Следствия и практические приложения

Следствие 1. 90123 + 8 = 90131.

Доказательство: Этот результат можно получить, если из правой и левой части доказанного утверждения вычесть 123456789012345678901234567800000.

Удивительно, но даже такой относительно простой факт до сих пор в научной литературе нигде не освещен.

Следствие 2. 8 + 90123 = 90131.

Это равенство получается применением закона коммутативности сложения к левой части утверждения следствия 1.

Следствие 3. 90131 - 8 = 90123.

Здесь знак "минус" означает операцию вычитания, то есть операцию, обратную к операции сложения в группе целых чисел относительно сложения. Данный результат непосредственно следует из определения операции вычитания.

Результаты работы непосредственно проверялись автором при проведении эконометрических исследований во время прохождения практики в крупной торговой фирме. По результатам работы руководством фирмы автору была начислена зарплата в размере 90131 копейки. Однако из-за систематических опозданий на работу, связанных с учебой в магистратуре, на автора был наложен штраф в размере 8 копеек. Применение результатов данной работы позволило предсказать, что в результате выплаченная сумма будет составлят 90123 копейки, что дало полное согласие с экспериментальными данными, полученными при пересчете.

Автор выражает свою благодарность всем, дочитавшим до этого места.

Литература:

  1. Лузин. Дифференциальное и интегральное исчисление.
  2. Соболев. Введение в теорию кубатурных формул.
  3. Гротендик, Дьедонне. Элементы алгебраической геометрии.
  4. Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, (в 2-х томах).
  5. Ахо, Сети, Ульман. Компиляторы: принципы, технологии и инструменты.
  6. Wirth. PASCAL-S: A Subset and its Implementation.
  7. Оре. Приглашение в теорию чисел.
  8. Грэхем, Кнут, Поташник. Конкретная математика.
  9. http://www.microsoft.com/
  10. Математика 3 класс.
  11. Бухштаб. Теория чисел.
  12. Математика. 1 класс.
http://fdo-eq.livejournal.com/24127.html

Любой из материалов, опубликованных на этом сервере, не может быть воспроизведен в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами без письменного разрешения владельцев авторских прав.

Copyright © 1994-2016 ООО "К-Пресс"